Matematikproblemen från tidskriften Elementa
Goda problem att öva på är av största vikt för många ämnen, men kanske mest av allt för matematik. De bidrar till att fördjupa förståelsen av teorin, att kunna analysera och bearbeta en frågeställning och att formulera sina tankar. En samling matematikproblem som kanske inte är så känd är alla de problem som under 87 år publicerades i tidskriften Elementa. Problemen gjordes i de flesta fall av lärare och forskare vid olika skolor och universitet och återspeglar den nivå som förväntades av duktiga gymnasister och nybörjare vid universiteten.
När tidskriften upphörde 2004 uppstod problemet vad som kunde göras för att bevara denna problemskatt. Två av ledamöterna i stiftelsens styrelse bestämde sig för att samla alla problemen och se om de eventuellt kunde publiceras. Här är resultatet, i form av pdf-filer med årsvisa sammanställningar.
Gå direkt till problemenNågot om Elementas historia
Under åren 1868-1871 och 1874 utkom i Uppsala Tidskrift för matematik och fysik. Tidskriften vände sig i första hand till gymnasiernas lärare i matematik och fysik. Särskilt uppmärksammades den matematiska problemlösningen, som ju till en god del har förtjänsten av den fördjupning av de matematiska studierna på gymnasialstadiet som inledes med senare hälften av 1860-talet. Huvudredaktör var matematikern Göran Dillner (som även var lärare till Gösta Mittag-Leffler). Tidskriften upphörde emellertid ganska snart.
År 1917 startades en efterföljare under namnet Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi. Grundarna var fyra lärare, rektor J. S. Hedström och lektorerna A. Meyer, O. Gallander och G. Starck. Tidskriftens namn ändrades år 1938 till Elementa med det ursprungliga namnet som underrubrik. År 1953 fick den sitt slutliga namn: Elementa, Tidskrift för matematik, fysik och kemi.
Huvudredaktör för tidskriften var under åren 1917-25 Adolf Meyer, 1925-27 lektor Hjalmar Olson och under åren 1928-1961 adjunkt Carl Emanuel Blom som även blev ägare till tidskriften. Han arbetade mycket på att öka intresset för tidskriften och lyckades bra med detta. Omkring 1960 var antalet betalande prenumeranter inemot 2000.
År 1961 bildades Stiftelsen Elementa med ansvar för verksamheten. I Stiftelsen som allmänt skulle ha till syfte att främja undervisning och forksning inom ämnena matematik, fysik och kemi och därmed sammanhängande discipliner, var de tre existerande föreningarna för matematisk-naturvetenskaplig undervisning representerade i styrelsen. Denna bestod vid bildandet av prof Erik Ingelstam (ordförande), docent Gunnar Blom (vice ordförande), lektor Olof Eklöf (sekreterare), lektor Bertil Englund, professor Arne Magnéll, läroverksadjunkt Eric Malmsjö och universitetslektor Lennart Råde. Huvudredaktör blev Olof Eklöf. År 1966 nådde Elementa sin största spridning med ca 3000 prenumeranter, spridda över hela Norden. Tidskriften fanns på i stort sett varje skolbibliotek och många gymnasister fick en årsprenumeration på Elementa som stipendium.
När Elementa slutligen upphörde, år 2004, prenumererade endast 74 skolbibliotek på Elementa och den delades ut som premie till 7(!) personer.
Problemavdelningarna var en styrka hos Elementa. Alltsedan starten fanns en problemavdelning för matematik. Många matematiker har vittnat om att Elementas problemavdelning har varit en starkt bidragande faktor till deras intresse för matematik. Det har också senare tillkommit problemavdelningar för fysik och kemi. Under den tid det var aktuellt så publicerades årets studentskrivningar i matematik och fysik i Elementa (även realskrivningarna). Fram till början av 1960-talet kunde man också hitta tentamensskrivningarna i matematik för betyget B vid universiteten i Elementa. På senare år publicerades de centrala proven för gymnasiet. Man har också kunnat erhålla årets skrivningar som ett särtryck för en mindre kostnad. I anslutning till problemavdelningarna presenterades också matematiktävlingar för gymnasister.
Den långa sviten av matematikproblem, gjorda av aktiva lärare och forskare, belyser hur matematikämnet har förändrats under en period på nästan 100 år. Man kan se vilka områden av matematik som har försvunnit (stora delar av geometrin), vilka som har tillkommit (sannolikhetsteori, vektorer, etc) och också vilken kunskapsnivå som duktiga studenter förväntades uppnå. Det borde göra det intressant för matematikhistoriker och didaktiker/pedagoger att studera problemsamlingen.
Några korta biografier över personer som har bidragit till Elementa (personligt urval)
Adolf Meyer
Adolf Meyer, född den 15 november 1860 i Stockholm, död den 11 juni 1925 på Pettersberg vid Vaxholm.
Meyer blev student i Uppsala 1879, filosofie doktor där 1888, adjunkt vid Högre realläroverket å Norrmalm 1896 och lektor i matematik och fysik vid Högre realläroverket å Östermalm 1904.
Meyer framträdde som läroboksförfattare, pedagogisk skriftställare och föredragshållare.
Han var en av grundläggarna av tidskriften Elementär tidskrift för matematik, fysik och kemi (1917) och inlade stor förtjänst som dess huvudredaktör.
J. S. Hedström
John Hedström, född 1876, död 1942, var en svensk politiker och rektor.
John Hedström var högerman och rektor vid läroverket på Östermalm, Östra Real. Han var hälftenägare vid Palmgrenska skolan i Stockholm, han var en känd matematiklärare och läroboksförfattare. Han var medförfattare till ett flertal läroböcker, Hedström-Rendahls läroböcker i algebra, geometri, trigonometri och tabeller.
John Hedström var rektor vid Östermalms läroverk och aktiv inom politiken.
Olof Gallander
Otto Gallander (1866–1926), fil. lic. i fysik 1893 vid Uppsala universitet. Han var lektor i matematik och fysik vid Tekniska elementarskolan i Örebro och senare vid Högre latinläroverket på Östermalm i Stockholm. Gallander var en högt ansedd lärare, gav ut flera läroböcker och var flitigt verksam som populärföreläsare. Han var en av grundarna av Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi – sedermera Elementa.
Gunnar Starck
Gunnar Starck, född i Stockholm 1880, fil kand i Uppsala 1902, fil lic i Stockholm 1909 och fil dr 1915. Lektor vid Norra Realläroverket i Stockholm 1916, professor vid Stockholms högskola 1927.
Gunnar Starck-medaljen (tidigare Pedagogmedaljen) Svenska Kemistsamfundets medalj för framstående pedagogisk verksamhet på kemins område instiftades 1964. Den kan utdelas varje år av Svenska Kemistsamfundets Sektionen för kemiundervisning. Pedagogmedaljen utdelades för första gången 1966 till den legendariske lektorn, fil dr Gunnar Starck (1880-1976). Till Gunnar Starcks 95-årsdag fick medaljen en helt ny utformning, med motiv från hans berömda undervisning med experiment. Efter hans frånfälle beslutades att medaljen skulle kallas Gunnar Starck-medaljen.
Gunnar Starck-medaljen är en belöning för framstående pedagogisk verksamhet på olika utbildningsnivåer, t ex. förtjänstfull lärarverksamhet, läroboksförfattande eller framträdande i media, som stimulerar till fortsatta studier och verksamhet inom kemi, kemiteknik och till kemin angränsande områden.
Hjalmar Olson
Per Hjalmar Olson, född den 29 november 1884 i Gävle, död 1963, var en svensk matematiker, skolman och läroboksförfattare.
Efter mogenhetsexamen i Gävle 1904 studerade Olson först vid Uppsala universitet, där han blev filosofie kandidat 1907, och senare vid Stockholms högskola, där han blev filosofie licentiat 1921 och filosofie doktor 1922. Hans doktorsavhandling belönandes av Vetenskapsakademien med det Fernerska priset.
Parallellt med studierna hade Olson redan 1906 börjat verka som lärare. Han blev adjunkt vid Nya Elementar 1912 samt, efter sin disputation, lektor vid Södra Latin 1923. 1929-1945 var han även lärare i matematik vid Sjökrigsskolan.
Olson hade även flera administrativa befattningar inom utbildningssektorn. 1921-1929 var han även direktör (sekreterare) för Stockholms stads undervisningsverk och 1929-1936 kamrer för detsamma. Parallellt var han 1924 sakkunnig hos Skolöverstyrelsen och 1934-1935 hos ecklesiastikdepartementet samt författade ett flertal läroböcker, främst för Norstedts förlag. Han var vidare sekreterare i Stockholms lärarsällskap 1915-1916 och i Läroverkslärarnas riksförbund 1922-1923. Åren 1925-1927 var han redaktör för Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi.
I en uppsats i Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi, byggd på ett föredrag för lärarkandidater i Sthlm 1925, citerar Olson med instämmande 1820 års skolordning där det med hänvisning till Pestalozzi sägs att "geometrien bör studeras som en ypperlig tankeövning, genom vilken förståndet vänjes att undersöka, innan man bedömer, samt att fordra redighet i uppgifter, ordning i slutföljder, klarhet i bevisen och bestämdhet i resultaterne". Olson tog således ställning för en logisk uppläggning av fakta med korrekt språkbehandling och framhöll att geometrin är en praktisk vetenskap, som bl a utvecklar vår rumsuppfattning, vilken ej är medfödd utan växer fram genom våra erfarenheter.
Carl Emanuel Blom
Carl Emanuel Blom, född i Stockholm 1880, fil kand Stockholms högskola 1906, fil hedersdr Uppsala 1955. Adjunkt vid Nya elementarskolan i Stockholm 1913-1948. Redaktör för Elementa 1928-1961. Övertog ägarskapet av Elementa 1931.
Olof Eklöf
Olof Eklöf, född i Gävle 1918, studentexamen vid Gävle Högre Allmänna Läroverk 1938, studier ui Uppsala, fil mag 1945, fil lic 1949, fil dr 1958. Amanuens vid Uppsala astronomiska observatorium, lektor vid Lundellska läroverket i Uppsala. Redaktör för Elementa 1961-1970.
Några av problemmakarna:
Josef Andersson: signaturen X i Elementas problemavdelning
Han behärskade stora områden av både humaniora och naturvetenskap. De klassiska språken och hans intresse för det historiska gav vida perspektiv på sammanhangen i hans huvudämne, matematiken.
Han ägnade sina universitetsstudier i Uppsala åt matematik och disputerade 1913 på en gruppteoretisk avhandling. De närmaste åren efter disputationen verkade han som docent. Josef Andersson kom därefter som lektor i matematik först till Göteborg och, efter några år som t.f. professor vid Chalmers tekniska institut, till Östra realläroverket i Stockholm, där han verkade i över tjugo år till sin pensionering 1951. Då bosatte han sig i Vaxholm, där han tidigare vistats sommartid. Från 1935 var han även censor vid studentexamen och blev som sådan känd i vida kretsar.
Josef Andersson var en problemkonstruktör och problemlösare av väldiga mått. Bläddrar man i gamla årgångar av Elementa, finner man hans signatur »X» under problem i praktiskt taget varje häfte av tidskriften. Man kan lugnt påstå, att han för Elementas problemavdelning har varit en stöttepelare, som det torde vara omöjligt att finna någon ersättare för. Av de svårare matematiska problem, som publicerats i Elementa under årens lopp [fram till 1965], har över hälften sänts in av Josef Andersson. Speciell förkärlek hade Josef Andersson för geometriska problem, som han formulerade och löste med en elegans och en kunnighet som saknar motstycke. Även hans problem inom andra områden av matematiken, särskilt algebran och analysen, är uppbyggda med en utomordentlig skarpsinnighet och med djupa kunskaper.
En liknande aktivitet som i Elementas problemavdelning utvecklade Josef Andersson även på andra håll, huvudsakligen i den belgiska tidskriften Mathesis, vars redaktör V. Thébault han stod nära. Hans stöd till Mathesis' problemavdelning var väl så omfattande som hans verksamhet i Elementa; det är närmast ofattbart, hur han kunde hinna med allt.
(Källor: Minnesrunor över Josef Andersson i Elementa 1965:2 av Olle Persson och Hans Riesel)
Claes Albert Mebius
Claes Albert Mebius föddes 15 november 1884 i Arvika och avled 22 februari 1947 i Stockholm.
Efter mogenhetsexamen i Gävle kom Claes M till universitetet i Uppsala där han aktivt tog del av vad studentlivet bjöd. Han var ett år Gästrike-Hälsinge nations andre kurator, sjöng i Allmänna sången, togs in i OD och deltog som andre tenor i denna körs sångarfärd till Paris 1878. Utom sina huvudämnen matematik och fysik hade han botanik i sin fil kand:examen, och intresset för den vetenskapen bestod så att han vid 80 år alltjämt var en ivrig växtsamlare. Efter grundexamen fortsatte M fysikstudierna som han läsåret 1881/ 82 förlade till Stockholm. Han disputerade 1894 i Uppsala med en doktorsavhandling i vilken han redogjorde för experiment med s.k. disjunktionsströmmar.
Mebius blev docent i Uppsala och vistades 1886 med statligt stipendium för fysikstudier ett halvår i Tyskland. När vid hans hemkomst möjlighet hade yppats att i kemiska institutionen inreda ett dittills saknat fysiskt laboratorium förordnades han att som biträdande laborator organisera och leda laborationer i experimentell fysik. Tre år senare anslogs medel till en ordinarie laboratorstjänst men vid tillsättningen utsågs den bättre meriterade Knut Ångström och Mebius lämnade universitetet och blev gymnasielärare. När tjänsten ånyo ledigförklarades 1898 sattes han i första förslagsrummet men tog då tillbaka sin ansökan. Samma år sökte han fysikprofessuren i Lund; han blev dock förbigången i samband med en uppmärksammad tillsättningsprocedur.
(Det fanns tre sökande till tjänsten: Janne Rydberg (med Rydbergskonstanten), Per Gustav David Granqvist (biträdande professor i fysik i Uppsala) och Claes Albert Mebius (numera gymnasielärare). Det fanns faktiskt en fjärde sökande, Albert Viktor Bäcklund (professor i mekanik och matematisk fysik i Lund) men han han bedömdes som icke behörig av de sakkunniga. Av de tre sakkunniga sattes Rydberg i första rummet av en och i tredje rummet av de andra två. Universitetet rekommenderade att Rydberg skulle få tjänsten. Men tjänsten tillsattes av kungen (Oskar II) och 21 september 1900 utnämndes Albert Viktor Bäcklund till professor i fysik. Historiker har senare påpekat att Bäcklund var en nära vän till Oskar II.)
1887 instiftade Mebius tillsammans med bl.a. S Arrhenius Fysiska sällskapet i Uppsala i avsikt att genom föredrag och referat av nyutkommen litteratur sprida kännedom om forskningens framsteg. Fysiker sammanträdde under kordiala former, diskuterade vetenskap och hörde föredrag vid ett glas punsch. Sammanträdena fick karaktär av licentiatseminarier och blev av stort värde för de studerande. Obligatoriska seminarieövningar i fysik infördes i universitetets fysikundervisning först på 1920-talet. Längre fram stod Mebius bakom stiftandet av Fysiska sällskapet i Gbg.
Han var på sitt område en av samtidens främsta läroboksförfattare, väl känd för bl a sin åskådliga logaritmtabell, och var föregångsman för en modern undervisning i fysik med obligatoriska laborationer. Hans erfarenheter och idéer fick spridning genom välskrivna lärarhandledningar och han kom att få stor betydelse for undervisningsmetodiken i realskola och gymnasium.
(Källor:
Claes A Mebius, Svenskt
biografiskt lexikon (art av Olle Franzén), hämtad 2014-09-30.
Rydberg application
)
Nils Juringius
född i Borås 1898, studentexamen 1918 och flyttade strax därefter med sina föräldrar till Stockholm. Fil kand 1920, fil lic 1924 och fil dr vid Stockholms Universitet 1932. Avhandling: Recherches sur les fonctions symétriques, Handledare var Torsten Carleman. Opponent var Olof Stenström. Vid disputationen sågs i auditoriet förutom Carleman även professorerna Quensel, Carlson, Cramer, Riesz och von Post. Det faktum att Nils var blind gjord att disputationen uppmärksammades till och med i Adelaide i Australien
Hans studier möjliggjordes av hans mor, Anna Juringius, som under alla år läste högt alla de arbeten han behövde studera för sin avhandling och också var hans sekreterare.
År 1925 erhöll Nils Juringius Liljewalchs stipendium på 2000 kr för studier i Cambridge. På 1940-talet skrev Nils Juringius flera arbeten i Elementa. Enligt Gunnar Blom hjälptes han då av Agne Wahlgren.
(Källor: Correspondence of Marcel Riesz with Swedes del 2, sammanställd av Jaak Peetre och Rooney Magnusson 2009
En blind matematiker:Notis i Elementa 2001:4 av Gunnar Blom)
Problemen årsvis
Samfundet riktar ett stort tack till Dag Jonsson och Anders Källström för deras arbete med att sammanställa problemsamlingen.
Last Modified: November 20, 2014